Partie 1

On considère la fonction `g` définie sur `]-infty , 0]` par `g(x)= (2-x)e^x -2 `

1) Calculer `g(0)` et `lim_{ x to -infty} g(x) `

2)a) Calculer `g'(x)` pour tout ` x <= 0 ` puis donner le tableau des variations de `g`

b) En déduire que ` forall x in ]-infty , 0[ : g(x) < 0 `

Partie 2)

On considère la fonction `f` définie sur `R` par :

` f(x)= x(1+(lnx)^2) text{ si } x > 0 `

`f(x)= x^2/(e^x -1) text{ si } x < 0 `

` f(0)= 0 `

1a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} x(lnx)^2 = 0 `

b) Montrer que `f` est continue en `x_0 = 0 `

2) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` à droite et à gauche en `x_0 = 0 ` , puis donner une interprétation géométrique des résultats obtenus

3) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` et `lim_{ x to -infty} f(x) `

4) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f `

5a) Montrer que :

` f'(x)= (1+lnx)^2 text{ si } x > 0 `

` f'(x)= (xg(x))/(e^x-1)^2 text{ si } x < 0 `

b) En déduire les variations de la fonction `f`

6) Montrer que l'équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `A(1,1)` est ` y =x `

7) Construire la tangente `(T)` et la courbe `C_f`

8) Soit `h` la restriction de la fonction `f` sur `]-infty ,0[ `

a) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Tracer la courbe de la fonction `h^(-1)`

Partie 3

Soit `(u_n)` la suite numérique définie par `u_0= 1/e ` et ` forall n in N : u_(n+1)= u_n(1+ln^2(u_n)) `

1) Montrer que ` forall n in N : 0 < u_n < 1 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est croissante

3) En déduire que la suite `(u_n)` est convergente puis calculer sa limite